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Vektorgeometrie

1  Grundlagen

Der Begriff der mathematischen Menge kann als Grundbegriff der modernen Mathematik angesehen werden. Mathematische Begriffe sind häufig Mengen von Mengen von Mengen...

Es ist wichtig zu wissen, daß eine Menge selbst Element einer andern Menge sein kann. Die Mathematik ist voll von Beispielen für Mengen von Mengen. Eine Gerade etwa ist eine Menge von Punkten; die Menge der Geraden in der Ebene ist ein natürliches Beispiel einer Menge von Mengen (von Punkten). Was überraschen mag, ist nicht so sehr die Tatsache, daß Mengen als Elemente vorkommen, sondern daß für mathematische Zwecke niemals andere Elemente betrachtet werden müssen. Insbesondere studieren wir in diesem Buch Mengen, Mengen von Mengen, Mengen von Mengen von Mengen...- zuweilen Türme von fürchterlicher Höhe und Komplexität -, sonst nichts.

(Paul R. Halmos, Naive Mengenlehre, Göttingen, 3. Auflage 1972)

 

Im bisherigen Unterricht traten wiederholt solche ‘Mengentürme’ auf, ohne dass allerdings im Unterricht die Sprache der Mengenlehre konsequent eingesetzt worden wäre. Ein Beispiel:

Zur Definition der natürlichen Zahlen benutzt man die folgende Konstruktion.

   0 := ø
   1 := {ø} . Also ist 1={0}
   2 := {ø, {ø} } . Also ist 2 = {0, 1}
   3 := {ø; {ø}; {ø, {ø} } }: Also ist 3 = {0, 1, 2}
   4 := {ø ,{ø}, {ø, {ø} }, {ø; {ø}; {ø, {ø} } } }
   ....

Den Nachfolger n+ von n (mit der Addition also n+1) gewinnt man allgemein mit der Definition
    n+ := {n, {n} }.

Übung 1
a) Bitte schreibt 6 als Menge.
b) Zeigt, dass mit der Nachfolgerdefinition gilt
    n = {0, 1, 2, ...,n-1} (Eine wirklich merkwürdige Eigenschaft von natürlichen Zahlen)

Eine Funktion f, die auf N definiert ist mit Werten in N, ist eine Teilmenge des kartesichen Produktes N x N, also eine Menge von geordneten Paaren aus natürlichen Zahlen. Geordnete Paare werden in folgender Weise als Mengen definiert:
   (a,b) := {a, {a,b} }.
Die Funktion f: x →2x ist die Menge {(0,0), (1,2), (2,4), ...}. Mithilfe der Mengendefinition für geordnete Paare wird daraus
   f = {{0, {0,0}}, {1,{1,2}}, {2,{2,4}}, ...}.

Da die Zahlsymbole nur Abkürzungen für Mengen sind, kann man sie durch die entsprechenden Mengen ersetzen und erhält

   f = { {ø, {ø,ø}},

{{ø}, {{ø}, {ø, {ø}} }},

{{ø, {ø}}, {{ø, {ø}}, {ø ,{ø}, {ø, {ø}}, {ø; {ø}; {ø, {ø}}}} }},

...}

   f = { {0, {0,0}},

{1 , { 1, 2 }},

{ 2, { 2 , 4 }},

...}

   f = { (0, 0) ,

(1,2),

(2,4),

...}

Man sieht die bedeutende Rolle der leeren Menge und den Segen der abkürzenden Schreibweisen für Zahlen und geordnete Paare. Geordnete Paare werden auch bei Zahlmengen-Erweiterungen von N auf Z und Q eingesetzt.

Eine Menge von Elementen wird erst dann zu einer Zahlmenge, wenn die dazugehörigen Verknüpfungen (Operationen) definiert sind. Die Menge und die Verknüfungen zusammen bilden die mathematische Struktur ‘Zahlmenge’. Werden die Eigenschaften von Zahlen mit ihren Verknüpfungen untersucht, so betreibt man Arithmetik. Die Verallgemeinerung auf die Untersuchung von (beliebigen) Mengen mit ihren Verknüpfungen nennt man Algebra.

Neben den Zahlmengen treten in der Geometrie ganz unterschiedliche Mengen auf. Dabei werden der dreidimensionale Raum oder die zweidimensionale Ebene als Menge von Punkten angesehen. Ebenso werden Strecken, Geraden, Dreiecke, Graphen von Funktionen, Kreise, Kugeln... als Punktmengen angesehen. Alle geometrischen Gebilde sind Punktmengen. Was allerdings ein Punkt ist, kann mathematisch nicht definiert werden (und physikalisch natürlich schon gar nicht). Dennoch können wir uns einen Kreis k in einer Ebene e vorstellen, wenn angegeben ist, welche Beziehungen zwischen bestimmten Punkten der Ebene bestehen:

Gelesen: Die Menge aller Punkte P mit: P ist Element der Ebene e und hat den Abstand 4 von M.

Neben den Punkten wird also noch eine Verknüpfung von Punkten benötigt, nämlich der Abstand von zwei Punkten. Soll die Lage des Kreises in der Ebene angegeben werden, so muss in einem Koordinatenystem jedem Punkt eine bestimmte Lage zugewiesen sein. Häufig wird ein kartesisches Koordinatensystem für die Ebene benutzt, so dass jedem Punkt ein geordnetes Paar von Koordinaten zugeordnet ist. Ein Kreis k um (0|0) mit dem Radius 4 kann dann so angegeben werden

Durch die Berechnung von Abständen (das sind mathematisch nichtnegative Zahlen) zwischen Punkten und der Zuordnung von Punkten zu Koordinatenpaaren (das sind geordnete Zahlenpaare) ist eine Beziehung hergestellt zwischen Punktpaaren und Zahlen bzw. zwischen Punkten und Zahlenpaaren. Eine rechnerische Behandlung von Geometrieproblemen wird erst über diese Beziehungen möglich, denn mit Punkten lässt sich nicht rechnen.

Da aber eine umkehrbar eindeutige (eineindeutige) Beziehung zwischen den Koordinatenpaaren und den Punkten besteht, liegt es nahe zu versuchen, mithilfe dieser Koordinaten Geometrieprobleme rechnerisch zu lösen. Dabei kann man sich an speziellen Beispielen orientieren.

 

2 Geometrieprobleme und Koordinaten

1. Beispiel
Greifen zwei Kräfte an einem Punkt an, so kann man die resultierende Kraft durch ein geometrisches Verfahren bestimmen

Die beiden Kräfte F1und F2sind in ihrer Größe und in ihrer Richtung gegeben. Sie werden als Pfeile, in einem kartesischen Koordinatensystem in (0|0) angetragen. Dabei gibt die Länge die Größe einer Kraft an. Die Pfeilspitze von F1liegt auf (3|4) und von F2auf (5|1).
Das geometrische Verfahren zur Ermittlung der Gesamtkraft besteht darin, dass die Kraftpfeile zu einem (Kräfte-) Parallelogramm ergänzt werden. Der Diagonalpfeil von (0|0) aus gibt die Gesamtkraft an.
Man erkennt, dass sich die Koordinaten des Pfeilpunktes der Gesamtkraft durch Addition der Koordinaten der Einzelkräfte ergeben:
    F1(3|4) + F2(5|1) = Fgesamt(3+5|4+1).

    Gesprochen: F1(3|4) vereinigt mit F2(5|1).....)

Man kann hieraus eine neuartige Addition + von Koordinatenpaaren definieren
    (a|b) + (c|d) := (a+c|b+d).
Diese Definition ist sinnvoll, denn greifen mehrere Kräfte an einem gemeinsamen Punkt an, so kann man die Gesamtkraft stets durch diese neue Addition errechnen.

2. Beispiel
Wird die Größe der Kraft F, die an einem Punkt angreift verdreifacht, so kann die resultierende Kraft zeichnerisch ermittelt werden durch Verdreifachung der Pfeillänge.

Auch in diesem Fall kann die resultierende Kraft durch Rechenoperationen mit den Koordinaten ermittelt werden
    3•F(5|1) = F(3•5|3•1).
    Gesprochen: Das 3-Fache von F(5|1)...) Wie bei der Addition von Kräften kann man daraus die Definition einer Multiplikation einer Zahl mit Koordinatenpaaren herleiten
    λ(a|b) := (λ•a|λ•b). Die neuartige Multiplikation wird also mithilfe der Multiplikation zwischen den Koordinatenzahlen definiert.

3. Beispiel
Werden die Koordinatenpaare einer Geraden durch (0|0) betrachtet, so erkennt man Zusammenhänge

Die Gerade g ist eine Menge von Punkten. Einige der zugehörigen Koordinatenpaare sind
   ......(-2|-1),.....,(2|1),...,(4|2),...,(8|4),......
Die bekannte Geradengleichung für diese Gerade ist also y = 0,5x. Aus dieser Gleichung erkennt man allgemein, dass die x-Koordinaten von Geradenpunkten jeweils doppelt so groß sind wie die y-Koordinaten. Geht man z.B. vom Koordinatenpaar (2|1) aus, so erhält man alle Koordinatenpaare der Geraden, wenn man die Koordinatenpaare (λ•2|λ•1) bildet, wobei λ alle reellen Zahlen durchläuft.
Durch diese gemeinsame Multiplikation der Koordinaten kann man eine Definition für eine Multiplikation von Koordinatenpaaren mit reellen Zahlen formulieren:
    λ•(a|b) := (λ•a|λ•b).
Mit dieser Definition kann die Gerade g in folgender Weise angeben
    g = {P(x|y)| (x|y)=λ•(2|1) , λε R}.
Durch diese Definition hat man eine neue Form einer Geradengleichung gefunden:
   (x|y)=λ•(2|1).

Die 3 Beispiele zeigen, dass für verschiedene Anwendungen Definitionen für Verknüpfungen von Koordinatenpaaren sinnvoll sein können. Die Eigenschaften dieser Verknüpfungen ergeben sich aus den bekannten Rechengesetzen für reelle Zahlen. Die Definitionen sind alle so vorgenommen worden, dass sie ohne Probleme analog für Punkte im dreidimensionalen Raum oder allgemein in einem n-dimensionalen Raum erfolgen können. Stets hat man es mit einer mathematischen Struktur zu tun, zu der eine Menge gehört (geordnete Zahlenpaare, Zahlentripel, n-Tupel von Zahlen,...), eine Addition und eine Multiplikation. Haben Addition und Multiplikation bestimmte Eigenschaften (so wie in den obigen Beispielen), so nennt man diese Struktur Vektorraum. Diese Eigenschaften sollen nun allgemein, d.h. unabhängig von obigen Anwendungsbeispielen untersucht werden.

 

3 Der Vektorraum

Es ist eine Menge V gegeben. V = { ,,,...} . Die Elemente von V heißen Vektoren. Auf V ist für alle und eine Addition + = erklärt mit den folgenden Eigenschaften für beliebige , und

Kommutativität: + = +

Assoziativität: ( + ) + = + ( + )

Es gibt ein neutrales Element (Nullvektor) mit + =

Zu jedem gibt es ein inverses Element - mit + (- ) =

Für + (- ) kann geschrieben werden - . (Erklärung der Subtraktion)

Man nennt eine Struktur mit solchen Additionseigenschaften eine (kommutative) Gruppe.

Es ist für alle und für alle reellen Zahlen λ eine Multiplikation λ• erklärt. mit den folgenden Eigenschaften für beliebige α, β, ,

1• =

Assoziativitätsgesetz: ( α•β)• = α•(β• )

1. Distributivgesetz: ( α + β)• = α• + β•

2. Distributivgesetz: α•( + ) = α• + α• )

Der Multiplikationspunkt kann weggelassen werden.

Eine Struktur mit diesen Eigenschaften heißt Vektorraum (über R)

Beim Rechnen mit Vektoren kann man sich immer an den obigen Beispielen aus der Geometrie orientieren, denn die Menge der geordneten Paare mit den definierten Verknüpfungen ist ein Vektorraum. Das Rechnen mit Vektoren erfolgt also im Wesentlichen wie das Rechnen mit reellen Zahlen.

Alle Vektorräume haben die angegebenen Eigenschaften. Sie können sich aber durchaus in den zugrundeliegenden Mengen V wie in den speziellen Definitionen der Verknüpfungen unterscheiden.

Übung 2
a) Bei der Definition des Vektorraums ist nur gefordert, dass es ein Nullelement gibt. Es dürfen danach aber auch mehr als ein Nullelemente existieren. Bitte beweist, dass es nur ein Nullelement geben kann.
b) Beweist, dass das inverse Element zu eindeutig bestimmt ist.

 

4 Ortsvektoren

Für die geometrischen Untersuchungen werden nun Vektoren eingesetzt. Dabei definiert man aber nicht für die Koordinatenpaare oder -Tripel Verknüpfungen, vielmehr werden als Mengen V Ortsvektormengen definiert. Man setzt fest, dass jedem Punkt P(x|y|z) im dreidimensionalen Raum eineindeutig ein Ortsvektor


zugeordnet ist.

Eigentlich hat man die Koordinaten des Punktes nur untereinander geschrieben. Damit wird verdeutlicht, dass mit diesen Elementen nach den Gesetzen des Vektorraumes gerechnet werden kann, während die bekannte waagerechte Schreibweise für Koordinaten anzeigen soll, dass sie nur zur Kennzeichnung und Benennung von Punkten dienen. Die Elemente x,y und z dieser (Spalten-)Vektoren werden Komponenten genannt.

Die Erklärungen für Addition und Multiplikation erfolgen im Prinzip genauso, wie sich das schon in den angegebenen Beispielen anbot.

Erklärung der Addition

Erklärung der Multiplikation mit einem Skalar λ (reelle Zahl):

.

Man kann nun zeigen, dass die Menge der Ortsvektoren mit diesen Verknüpfungen ein Vektorraum ist, d.h. die Vektorraum-Gesetze gelten.

Analog zu den Definitionen im dreidimensionalen Raum definiert man in der Ebene, dem zweidimensionalen Raum (man lässt einfach jeweils die letzte Komponente weg).

 

5 Geometrische Veranschaulichungen für Ortsvektoren

Nach der Definition sind Vektoren einfach Elemente einer Menge mit einer bestimmten Struktur. Bei Operationen mit Vektoren sind geometrische Veranschaulichungen aber hilfreich. Das gilt insbesondere dann, wenn geometrische Probleme zu lösen sind. Veranschaulichungen von Geometrie-elementen sind ganz natürliche Hilfsmittel in der Geometrie, denn jede Zeichnung in der Geometrie ist eine solche Veranschaulichung. Wie in den Beispielen zu den Kräften werden als Veranschaulichungen von Ortsvektoren Pfeile gezeichnet, die im Ursprung des Koordinatensystems beginnen und beim zugeordneten Punkt enden. Allein der Nullvektor wird als Null-Punkt dargestellt. Zur Veranschaulichung der Addition von Vektoren kann man die Vektorpfeile auch parallel verschieden. Dann wird die Addition durch eine ‘Pfeilkette’ veranschaulicht.

Die Vektoraddition += kann man mit den zugeordneten Punkten auch in folgender Weise geometrisch deuten: Der Punkt A wird in Richtung von und um die Länge des Vektors nach Punkt C verschoben. Also gilt:

Die Multiplikation kann analog als Streckung des zu gehörenden Pfeils angesehen werden.

Für die Punkte A und B, die den Vektoren und λ zugeordnet sind, bedeutet das eine zentrische Streckung von A auf B mit dem Zentrum 0 und dem Streckfaktor λ .

 

6 Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

6.1 Linearkombinationen

Eine Linearkombination von Vektoren ist eine Summe von Vektoren, die mit Skalaren multipliziert sind.
Beispiel:     α• + β• + γ•.
Für Vektoren lassen sich in gewohnter Weise Gleichungen formulieren. Ein besonders wichtiger Gleichungstyp ergibt sich, wenn eine Linearkombination von Vektoren gleichgesetzt wird mit dem Nullvektor.
Beispiel:     + β• + γ•=.

Werden zu den Vektoren die passenden Pfeile gezogen, so erhält man als Bild der Gleichung eine geschlossene Kette von Pfeilen.

 

6.2 Erzeugendensysteme

Ist eine Menge von Vektoren gegeben, so kann man durch Linearkombinationen dieser gegebenen Vektoren weitere Vektoren des Vektorraums erzeugen.

Beispiel: In der Ebene sind die Vektoren

Mit den Faktoren 1 , 2 und 3 ergibt sich ein neuer Vektor:

.

Kann man durch passende Wahl der Faktoren jeden Vektor des Vektorraumes erzeugen, so bezeichnet man die gegebene Vektormenge als Erzeugendensystem für den Vektorraum. Am Beispiel der obigen Vektoren wird gezeigt, wie man ermittelt, ob eine gegebene Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem ist.Für einen beliebigen Vektor muss die Gleichung

α• + β• + γ•= für α,β,γ eine Lösung besitzen. Die Vektorgleichung ist genau dann lösbar, wenn das zugehörige Gleichungssystem lösbar ist:

Man sieht, dass man für alle x und y stets α und β mit den letzten beiden Gleichungen errechnen kann. Dabei ist γ sogar zunächst frei wählbar. Also ist die gegebene Vektor- menge {α,β,γ} ein Erzeugendensystem.

Ein Erzeugendensystem mit einer Minimalzahl von Elementen in der Erzeugendenmenge heißt Basis.

Im Beispiel kann man das Erzeugendensystem verkleinern. Man kann nämlich einen Vektor - z.B. - durch eine Linearkombination der beiden andern ausdrücken:

Also ist .

Dieser Ausdruck kann für in den Ausgangsterm eingesetzt werden. Dann ergibt sich eine Linearkombination, die allein von und abhängt. Da mit dem Term aber jeder Vektor des Raumes dargestellt werden kann, ist auch { , } ein Erzeugendensystem des Raumes. Mit weniger als zwei Vektoren kann man aber nicht alle Vektoren des Raumes erzeugen, also ist dieses Erzeugendensystem eine Basis. An einer Skizze kann man veranschaulichen, wie mit dieser Basis alle Ortsvektoren des Raumes erzeugt werden können.

Im Grunde geht man genauso vor, wie man es beim Einzeichnen eines Punktes P(x|y) in das gewöhnliche Koordinatensystem tut.
1. Als ‘Ausgangskoordinatensystem’ werden die beiden Vektoren und gewählt.
2. Als ‘Koordinatenachsen werden die beiden Vektoren verlängert.
3. Durch einen Punkt P werden zwei achsenparallele Geraden gezogen. Diese schneiden die ‘Koordinatenachsen’ in A und B. Die Summe der Vektoren und ergibt den zu P gehörenden Ortsvektor .

Man erkennt, dass dieses Verfahren nur deshalb klappt, weil die beiden Basisvektoren nicht gleiche oder entgegengesetzte Richtung haben.

Ist ein Erzeugendensystem gegeben, so kann man versuchen, die Anzahl der Vektoren zu verringern, ohne dass die Eigenschaft ‘Erzeugendensystem’ verloren geht. Im obigen Beispiel ist gezeigt worden, dass man dazu versuchen kann, einzelne Vektoren als Linearkombination der andern darzustellen. Solche Vektoren können ohne Probleme aus dem Erzeugendensystem entfernt werden. Falls solche überflüssigen Vektoren nicht mehr vorhanden sind, nennt man die restlichen Vektoren der Menge linear unabhängig. In den andern Fällen heißen sie linear abhängig. Eine gleichwertige Definition ist:

 

6.3 Anmerkungen und Folgerungen

Ein Vorteil dieser Definition ist, dass man hieraus sofort ein Rechenverfahren gewinnt zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit einer Menge von Vektoren. Man hat einfach das zur Definitionsgleichung gehörende lineare Gleichungssystem zu lösen.

Die Gleichwertigkeit der beiden angegebenen Definitionen muss bewiesen werden.

Als Folgerung aus der Definition erkennt man: Eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren.

Zwei linear abhängige Ortsvektoren bezeichnet man auch als kollinear. In der Ebene sind die beiden Vektoren dann gleich oder entgegengerichtet.

Drei linear abhängige Ortsvektoren bezeichnet man auch als komplanar . Im (dreidimensionalen) Raum liegen die Vektoren dann in einer Ebene.

Übung 3
Zeigt, dass gilt:
Gehört der Nullvektor zu einer Menge von Vektoren, so sind die Vektoren stets linear abhängig.

 

7 Geraden im Raum

7.1 Geradenfunktionen und -Gleichungen in Vektorform

Eine Gerade ist eine spezielle Punktmenge. Die Geradeneigenschaft bedeutet, dass zwischen den Punkten eine besondere Beziehung besteht. Es wird nun gezeigt, wie man in der zugehörigen Menge von Ortsvektoren diese besondere Geradenbeziehung darstellen kann. Mit dieser Darstellung gewinnt man dann die Möglichkeit, Geradenprobleme rechnerich zu bearbeiten. Als Grundlage für die Entwicklung einer Geraden-Vektorgleichung dienen die geometrischen Interpretationen (s. weiter oben) der Vektorraumverknüpfungen für den Ortsvektorraum:

Der Addition von Vektoren ist eine Punktverschiebung zugeordnet,
der Multiplikation einer Zahl mit einem Vektor ist eine zentrische Streckung zugeordnet.

Den Punkten einer Geraden durch den Nullpunkt können Vektoren zugeordnet werden. Ein Punkt A (aber nicht der Nullpunkt) auf der Geraden sei vorgegeben. Ihm ist der Vektor zugeordnet. Ein beliebiger Punkt auf der Geraden sei X - der zugeordnete Vektor ist also . Jeder Punkt auf der Geraden kann als Bild einer zentrischen Streckung von A aufgefasst werden. Hierbei ist der Nullpunkt das Zentrum der Abbildung. Der Streckfaktor sei mit λ bezeichnet.

Mit einem passenden Streckfaktor gilt dann . Für jeden Punkt X der Geraden gibt es einen passenden λ-Wert und umgekehrt ist jedem λ durch die Gleichung auch ein und damit ein Punkt X der Geraden zugeordnet. Die Gleichung

= λ , λ aus R

ist die Vektorgleichung der Geraden durch den Nullpunkt und A. Da jedem λ genau ein Punkt X zugeordnet ist, ergibt sich als Geradenfunktion

Jede Gerade h, die nicht durch den Nullpunkt geht, hat eine Parallele g durch den Nullpunkt. h ergibt sich durch eine passende Verschiebung von g. Ist auf g ein Punkt B gegeben, so kann diese Verschiebung durch die Addition von rechnerisch dargestellt werden.

Der Vektor führt zu einem Punkt auf der Geraden h, deshalb wird er als Ansprungvektor bezeichnet. Der Vektor gibt die Richtung der Geraden an; er heißt deshalb Richtungsvektorder Geraden. Die Geradengleichung für h ist damit

Als Geradenfunktion ergibt sich

Ist die Gleichung für eine Gerade g gesucht, die durch die Punkte P und Q geht, so gewinnt man die zugehörige Geradengleichung in folgenden Schritten:

1. Die Gleichung hat die Form
   .
2. wird durch einen Ansprungvektor ersetzt. Hier kann gewählt werden.
3. wird durch einen passenden Richtungsvektor ersetzt. Mit P und Q kann - gewählt werden.
4. Damit ergibt sich die Gleichung für eine Gerade durch die Punkte P und Q
   

Mit dieser Vektorgleichung können Geradenprobleme rechnerisch gelöst werden.

 

7.2 Beispiel für ein Geradenproblem

Ein Quader liege auf der x,y-Ebene. Der Grundriss zeigt ein achsenparalleles Rechteck mit den beiden Eckpunkten A(1|1) und B(7|4). Die Höhe des Quaders sei 4. Eine Gerade g durch P(0|0|2) und Q(8|5|4) sei gegeben. Welches sind die Durchstoßpunkte der Geraden durch die Seitenflächen des Quaders?

Lösung
Die Gerade hat die Gleichung

Werden die gegebenen Punkte benutzt, ergibt sich mit dem Parameter λ

Nach der Zeichnung von Grund- und Aufriss erkennt man, dass die Schnittpunkte in der vorderen und hinteren Quaderseitenfläche liegen. Für alle Punkte in der vorderen Seitenfläche gilt y=1. Wird dieser Wert in die Geradengleichung eingesetzt, so erhält man als notwendige Bedingung für einen Schnittpunkt

Äquivalent zu dieser Vektorgleichung ist das Gleichungssystem

Mit dem gegebenen y-Wert ergibt sich der Punkt T(1,6|1|2,4). Da die x-Koordinate zwischen 1 und 7 liegt und die z-Koordinate zwischen 0 und 4 liegt, ist der Punkt T ein Punkt der vorderen Quaderfläche. Entsprechend ergibt sich mit der y-Koordinate 4 für die hintere Quaderfläche der Schnittpunkt S(6,4|4|3,6) auf der hinteren Quaderfläche.

 

7.3 Inzidenzprobleme für Geraden

Sind zwei verschiedene Geraden in der Ebene gegeben, so sind sie entweder parallel, oder sie schneiden sich. Im Raum sind die Verhältnisse anders. Hier können Geraden nicht parallel sein, ohne sich zu schneiden. Diese Lagebeziehung nennt man windschief. Zwei Geraden im Raum können also die folgenden Lagen zueinander haben:
    sie sind identisch,
    sie sind parallel ohne gemeinsamen Punkt,
    sie schneiden sich in genau einem Punkt,
    sie sind windschief zu einander.

Die Lage von Geraden zueinander (Inzidenzproblem) kann mit den Vektorgleichungen für Geraden untersucht werden. Es seien die beiden Geraden g und h mit ihren Gleichungen gegeben:

Die Gleichsetzung der Geradenterme führt zu einem Gleichungssystem für λ und μ , dessen Lösungsfälle die Lage der Geraden zueinander erkennen lassen.

    Die Geraden sind identisch, wenn das Gleichungssytem unendlich viele Lösungen hat.
    Sie schneiden sich, wenn es genau eine Lösung hat.
    Sie sind parallel, wenn es keine Lösung gibt und die Richtungsvektoren der Geraden
    gleich- oder entgegengesetzt gerichtet sind.
    Sie sind windschief, wenn es keine Lösung gibt und sie nicht parallel sind.

Übung 4
Bitte wählt jeweils 2 der gegebenen Geraden aus und untersucht ihre Lage zueinander. Zeichnet die drei Geraden in ein Koordinatensystem.
g: durch (1|2|3) und (4|4|5),
h: durch (0|0|0) und (3|2|2),
k: mit Richtungsvektor (0|-1|1) und Ansprungvektor (1|1|1).

8 Ebenen im Raum

8.1 Ebenenfunktionen und -Gleichungen in Vektorform

Sind zwei linear unabhängige Vektoren und im Raum gegeben, so ‘spannen sie eine Ebene auf ’. Mit dieser Sprechweise soll veranschaulicht werden, wie mit Linearkombinationen s+t dieser Vektoren sämtliche Ortsvektoren der Ebene gewonnen werden können. Die Ebene geht durch (0|0|0) (Ortsvektoren). Durch Addition mit einem Vektor wird die Ebene parallel verschoben. Damit gibt es für jeden Punkt P(x|y|z) der Ebene e ein reelles Zahlenpaar (s,t) mit

= s + t + .

Ebenso gehört zu jedem Paar (s,t) ein Ebenenpunkt P. Die Gleichung ist die allgemeine Ebenengleichung. Die Ebenenfunktion ist entsprechend

(s,t) ->s + t +   ,s,t aus R.

und heißen Richtungsvektoren; heißt Ansprungvektor.
(Siehe auch ‘Kurven und Flächen’)

Drei verschiedene Punkte A, B, C im Raum, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene fest. Mit den Ortsvektoren die diesen Punkten zugeordnet sind, ergibt sich die 3-Punkte-Form der Ebenengleichung:

= +s( - ) + t( - ) .

8.2 Die Lagebeziehungen zwischen Ebenen

Zwei verschiedene Ebenen im Raum sind entweder parallel oder sie schneiden sich. Das erinnert an die Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene. Geraden in der Ebene verhalten sich wie Ebenen im Raum. Die Klärung der Frage, welche Lagebeziehung zwei Ebenen zueinander haben, kann am Lösungsfall des zugehörigen Gleichungssystems abgelesen werden. Ein Beispiel dazu:

Die Ebene e gehe durch die Punkte A(1|1|10), B(10|7|1) und C(-2|5|12).
Richtungsvektoren der Ebene f seien [1,1,1] und [1,-2,0]; ein Ansprungvektor sei [5,6,7].

Eine Vektorgleichung für e erhält man mit der 3-Punkteform der Ebenengleichung
= [-2,5,12] + s([1,1,10] - [-2,5,12]) + t([10,7,1] - [-2,5,12])
= [-2,5,12] + s[3,-4,-2] + t[12,2,-11] = [-2+3s+12t, 5-4s+2t, 12-2s-11t].

Eine Vektorgleichung für f ergibt sich mit der Form der allgemeinen Ebenengleichung
= [5,6,7] + m[1,1,1] + n[1,-2,0] = [5+m+n, 6+m-2n, 7+m].

Zur Lösung des Inzidenzproblems werden die Ebenenterme gleichgesetzt (Deshalb werden schon bei der zweiten Ebenengleichung neue Parameterbezeichnungen m und n gewählt).
[-2+3s+12t,5-4s+2t,12-2s-11t] = [5+m+n,6+m-2n,7+m].

Das zugehörige Gleichungssystem wird nach s,m und n gelöst (t bleibt als Parameter erhalten).
-2+3s+12t = 5+m+n
^
5-4s+2t = 6+m-2n
^
12-2s-11t = 7+m

Als Lösung ergibt sich
s = (30-59t)/8
^
m = (15t-10)/4
^
n = (54-111t)/8

Wird der Wert für s in den Ebenenterm für e eingesetzt, ergibt sich nach Zusammenfassung zu einem Vektor
[(74-81t)/8, (63t-20)/2, (15t+18)/4]

Die Abhängigkeit dieses Vektors von einem einzigen Parameter t zeigt, dass es sich um einen Geradenterm handelt: Die Schnittmenge beider Ebenen ist eine Gerade.

Zur Lösung dieses Problems mit Derive siehe Ebenenschnitt

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