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Gleichungen in Orthogonalform für Punktmengen , Hesseform
-Umwandeln in verschiedene Gleichungsformen



Orthogonalform

Die bisher abgeleitete Form der Ebenengleichung hat als Bestandteile einen Ansprungvektor auf einen Ebenenpunkt und zwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Es werden also zwei Richtungsvektoren zur Darstellung einer Ebene benötigt. Es überrascht, dass schon ein Vektor alleine zur Festlegung der Richtungen der Ebene im Raum ausreicht: Ein Vektor, der senkrecht (orthogonal) zur Ebene ist, legt die Richtungen der Ebene im Raum fest. Wenn man diese Eigenschaft ausnutzt, kommt man zur Orthogonalform der Ebenengleichung.

Ein Orthogonalvektor legt die Richtungen einer Ebene fest.

Die Orthogonalform der Ebenengleichung


 

sei ein Orthogonalvektor zur Ebene e. P sei ein Punkt der Ebene. Genau dann, wenn ein Punkt X in der Ebene liegt, liegt auch der Pfeil zu - in der Ebene. Dann ist der zugehörige Vektor senkrecht zu und es gilt damit für einen beliebigen Ebenenpunkt X mit dem zugehörigen Vektor die Gleichung
 
(-) = 0
 
Diese Gleichung heißt (eine) Orthogonalgleichung der Ebene e.

Die Orthogonalform der Geradengleichung in der Ebene

Geradenrichtungen im Raum sind nicht durch eine Orthogonalrichtung festzulegen. Da der Orthogonalvektor die Richtungen einer Ebene festlegt (s.o.), könnte eine Raumgerade jede dieser Ebenenrichtungen haben. Geraden in der Ebene sind aber in ihrer Richtung durch einen Orthogonalvektor festgelegt. Es gilt dann eine Orthogonalgleichung für diese Geraden, die - mit Vektorvariablen geschrieben - die selbe Form hat wie die obige Ebenengleichung.
 
(-) = 0
 

An den Velktorgleichungen wird deutlich: Geraden spielen in der Ebene die selbe Rolle wie Ebenen im Raum.

Koordinatengleichungen von Ebenen und Geraden

Wird die Orthogonalgleichung der Ebene

ausmultipliziert, so ergibt sich die Gleichung
ax + by + cz + (-axp-byp-czp) = 0. Wird für die Konstante im Klammerterm d gesetzt, so erhält man die Koordinatengleichung einer Ebene
 
ax + by+ cz + d = 0
 
Analog ergibt sich für Geraden in der Ebene die Koordinatengleichung
 
ax + by + d = 0

Die Koordinatengleichungen gelten auch für 'senkrechte' Ebenen und Geraden - Die aus der Mittelstufe bekannte 'Funktionsgleichung' y = mx + b für Geraden versagt da.

Die Hesseform von Geraden- und Ebenengleichung

Wird in den Orthogonalformen der obigen Gleichungen der Orthogonalvektor auf den Betrag 1 normiert, so erhält man Orthonormalformen, die als speziellen Namen die Bezeichnung Hesseformen haben. Mit dem Ortonormalvektor ergibt sich dann
 
(-) = 0

 

Die Umrechnung in verschiedene Ebenengleichungs-Formen

Je nach dem gestellten Problem, kann die eine oder die andere Gleichungsform für eine Ebene zweckmäßig sein. Die folgende Darstellung zeigt, wie aus einer gegebenen Ebenengleichung jede andere Gleichungsform erreicht werden kann.
 

Mit = 0 und = 0 einen Orthogonalvektor bestimmen

Parameterform
Gegeben: 3 Pkte A, P, Q, die nicht auf einer Geraden liegen.
= + r (-) + s(-)
oder
= + r + s

3 Pkte jeweils durch Wahlen von x,y und Berechnung von z bestimmen

Orthogonalform
Gegeben: Pkt A, Orthog.-Vektor
( - ) = 0

Skalarprodukt ausmultiplizieren

Koordinatenform
Gegeben: Parameter a,b,c,d (nicht: a=b=c=0)
ax + by + cz + d = 0

 

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