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Eine Metrik im Punktraum mithilfe eines Skalarproduktes.



Eine Metrik für den zwei- bzw. dreidimensionalen Punktraum

Dem Punktraum (damit soll hier sowohl der zwei- wie der dreidimensionale Raum gemeint sein) ist ein (Orts-)Vektorraum zugeordnet. Bisher konnten mit diesem Vektorraum Inzidenzprobleme für Punktmengen behandelt werden. Es ist bisher aber nicht möglich, durch Rechnen im Vektorraum Längen von Strecken, Inhalte von Punktmengen oder Winkelgrößen zu ermitteln. Zur Bestimmung solcher Maße von Punktmengen wird eine Abstandsfunktion - eine Metrik - erklärt. Die Definition dieser Abstandsfunktion führt man aber nicht direkt im Punktraum aus, sondern man erklärt zunächst im zugeordneten Vektorraum ein neues Produkt - das Skalarprodukt. Damit gelingt es dann in einfacher Weise, die Abstandsfunktion im Punktraum zu definieren. Ist im Punktraum diese Abstandsfunktion mit dem Skalarprodukt eingeführt worden, spricht man von einem Euklidischen Punktraum.

Abstandsfunktion
 
Metrik
 
Skalarprodukt
 
Euklidischer Raum

Ein Skalarprodukt für Vektoren

Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren
Für zweidimensionle Vektoren definiert man analog.
Wie bei der bisherigen Zahlen-Multiplikation kann man auch hier den Multiplikationspunkt weglassen.
 
Die wesentlichen Eigenschaften des Skalarproduktes ergeben sich sofort aus den gewöhnlichen Rechengesetzen :
 
   Die Skalarmultiplikation ordnet jeweils zwei Vektoren eine reelle Zahl zu.
 
   (+)=+ (Distributivität)
 
   = (Kommutativität)
 
   (k)=k() (Homogenität)
 
    ≥ 0 (positive Definitheit)
 
   I.a. ist () () (Assozitivgesetz gilt nicht! )

Die skalare Multiplikation von zwei Vektoren hat als Ergebnis ein Skalar, eine reelle Zahl.

Die Länge von Strecken

Als einfachste Längen werden die Abstände von Punkten zu 0 festgelegt. Mit der geometrischen Veranschaulichung eines Ortsvektors als Pfeil von 0 bis zum Punkt ist das auch die Länge oder der Betrag dieses Vektors. Es wird festgelegt:
    = || =
 
Mit der Definition des Skalarproduktes ergibt sich also für
 
   
    =
Mit diesem Ergebnis kann nun auch die Länge einer beliebigen Strecke bestimmt werden.
   
Durch die passenden Definitionen hat man scheinbar nur das erreicht, was schon seit der Mittelstufe mithilfe des Satzes von Pythagoras bekannt ist. Aber die Anwendungen des Skalarproduktes gehen weit darüber hinaus. Das wird z.B. schon deutlich, wenn die Größe von Winkeln bestimmt wird.

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall bei der Längenberechnung mit dem Skalarprodukt.

Die Größe von Winkeln - Orthogonalität

Mit dem Skalarprodukt kann in überraschend einfacher Weise die Größe des Winkels zwischen zwei Vektoren bestimmt werden. Es gilt nämlich für den Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren und
   
 
Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren 0, so kann das daran liegen, dass einer der Vektoren der Nullvektor ist; es gibt aber noch einen weiteren Fall:
Sind beide Vektoren ungleich dem Nullvektor, dann ist
    = 0
genau dann, wenn die beiden Vektoren senkrecht (orthogonal) zu einander sind. Das ergibt sich unmittelbar aus den Eigenschaften von Skalarmultiplikation und cos-Funktion. Diese Eigenschaft des Skalarproduktes wird häufig benötigt.

 

Mit diesen Grundmaßen für Punktmengen, die über das Skalarprodukt gewonnen werden, können im Prinzip alle Inhalte (Maße) von Punktmengen bestimmt werden.

Das Skalarprodukt zweier Einheitsvektoren ergibt den Cosinus des Winkels.
 
Die Orthogonalität von zwei Vektoren lässt sich mit dem Skalarprodukt besonders einfach erkennen.

Ein Beispiel zu Inhaltsberechnungen

Es ist ein Dreieck ABC gegeben mit A(1,1,1), B(8,2,3), C(5,4,9).



 

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