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Kurven und Flächen in Parameterdarstellung


Definition 1

Eine Kurve ist die (stetige) Bahn eines Punktes, d.h. der Ort eines Punktes, der einen Freiheitsgrad besitzt.

Definition 2

Ist ein kartesisches Koordinatensystem gegeben und eine Gleichung F(x,y,z)=0, so sei der (nichtleeren) Lösungsmenge L = { (x,y,z) | f(x,y,z)=0 } die Punktmenge K = { (x|y|z) | f(x,y,z)=0 } zugeordnet. Diese Punktmenge K heißt Raum-Kurve. Entsprechend heißt die Punktmenge im zweidimensionalen Fall ebene Kurve.

Definition 3

Sind x(t), y(t) und z(t) drei auf dem gleichen Intervall I definierte stetige Funktionen und ist ein kartesisches Koordinatenystem gegeben, so heißt die Punktmenge K={ (x(t)|y(t)|z(t)) | t ε I } eine stetige Kurve. Man sagt kurz:

Eine stetige Kurve ist das Bild einer stetigen Abbildung eines Intervalls I.

Eine stetige Kurve ist ein Streckenbild.
Der Vektor [x(t),y(t),z(t)] heißt Parameterdarstellung einer Raum-Kurve. (Hier die Vektorschreibweise nach Derive).
Analog im zweidimensionalen Fall: [x(t),y(t)] ist eine Parameterdarstellung einer ebenen Kurve.

Anmerkungen

Die obigen Definitionen kann man verschiedenen Mathematikdarstellungen entnehmen. Die erste erfordert weitere Informationen über die Bedeutung der verwendeten Begriffe und die zweite ist für unsere Zwecke zu allgemein. Mit den hier vorausgesetzten Vorkenntnissen und bei der Art der zu behandelnden Kurven, ist die Definition 3 klar, einfach und passend.
Parameterdarstellungen von Kurven haben gegenüber der Darstellung von ebenen Kurven mithilfe der Funktionsgleichung y= f(x) Vorteile. Es lassen sich in einfacher Weise Kurven mathematisch als Funktionen einer Variablen t beschreiben, die in der üblichen Darstellung nicht einmal Funktionen sind (z.B. Spiralen). Bei Raumkurven ist man i.a. ohnehin auf eine Parameterdarstellung angewiesen.
Bei Anwendungen kann t ganz verschiedene Bedeutungen haben. t kann z.B. eine Winkelgröße angeben oder die Länge des Kurvenstücks oder einfach die Variable x . Die Einfachheit der Parameterdarstellung kann entscheidend von einer geschickten Wahl der Parameterbedeutung abhängen.

An den folgenden Beispielen von Kurven soll auch der Einsatz von Derive demonstriert werden.

 

Eine Gerade (Im 2D-Plot zu zeichnen)

g(t):=[t,2·t+1]

Zu dieser Geraden gehört das Gleichungssystem:

x=t AND y=2*t+1
SOLVE([x=t,y=2*t+1],[y,t])
[y=2*x+1 AND t=x]

Wie man erkennt, kann durch Lösen nach y und t auch die bekannte Geradengleichung y=2*x+1 gewonnen werden. Man hat aus dem y-Term t 'eliminiert' .

Eine weitere Gerade (Im 3D-Plot zu zeichnen)

h(t):=[t,3·t,4·t]

Das zugehörige Gleichungssystem:

[x=t,y=3*t,z=4*t]

Für diese Gerade im Raum existiert keine Geradengleichung, wie sie aus der Ebene bekannt ist.

 

Eine Schraubenlinie

k(t):=[2·COS(t),2·SIN(t),t]

 

Eine Spirale im Raum

s(t):=[t·COS(t),t·SIN(t),t]

 

Eine Spirale in der Ebene

spirale(t):=[t·COS(t),t·SIN(t)]

 

Die Tangente in einem Kurvenpunkt

Die Steigung eines Graphen in einem Punkt ist in Klasse 11 definiert worden als der Grenzwert eines Differenzenquotienten Δy/Δx . Der Differenzenquotient Δy/Δx gibt das (mittlere) Wachstum in y-Richtung relativ zum Wachstum in x-Richtung an. In der Parameterdarstellung einer Kurve sind x und y Funktionen von t, dann gilt

f'(x) = lim( ΔY/ Δx , Δx, 0) = lim( (Δy/Δt) / (Δx/Δt) , Δt, 0) = y'(t) / x'(t)
Es gilt also f '(x) = y'(t)/x'(t) , wobei für die x-Stelle auf der linken Seite der zugehörige t-Wert auf der rechten Gleichungsseite zu nehmen ist und die benötigten Ableitungen und Terme müssen existieren. Am Beispiel der ebenen Spirale soll mit dieser Gleichung die Tangente bestimmt werden für t=19.

Die Tangente ist eine Gerade mit der (gewöhnlichen) Gleichung y = mx + b . Die Steigung der Geraden ist gegeben und ein Punkt. Damit kann die Gleichung der Tangente berechnet werden.

spirale(19)
[19·COS(19),19·SIN(19)]
[18.7,2.84]

Berührpunkt

[x(t):=t·COS(t),y(t):=t·SIN(t)]

m(19)
-10.1

Steigung im Berührpunkt

2.84=m(19)·18.7+b
SOLVE(2.84=m(19)·18.7+b,b)

b=193.3

Steigung und Punktkoordinaten werden in die allgemeine Tangentengleichung eingesetzt und diese wird nach b gelöst.

y_tangente:=-10.1·x_tangente+193.3

Die Tangentengleichung

 

Raumflächen

Bei der Definition von Flächen wird die Definition einer Kurve passend erweitert. Hier wird von der Definition 3 ausgegangen: Eine stetige Kurve ist das stetige Bild einer Strecke. Als Fläche wird nun definiert:

Eine (stetige) Fläche ist das stetige Bild eines Rechtecks.

Ist ein kartesisches Koordinatensystem in einer Ebene gegeben, so ist jedem Punkt eines Rechtecks ein Koordinatenpaar (u,v) zugeordnet. Jedem Punkt des Rechtecks wird ein Flächen-Punkt (x,y,z) im Raum zugeordnet. Die Koordinaten x,y und z sind Funktionen der Rechteckkoordinaten. Der Vektor [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] wird als Parameterdarstellung der Raumfläche bezeichnet. Es gibt eine stetige Funktion

flaeche: (u,v) -> [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] , u und v aus gegebenen Intervallen.

Während eine Kurve 'eindimensional' ist, was daran erkennbar ist, dass die Parameterdarstellung nur von einer Variablen abhängt, sind Flächen 'zweidimensional' , was ebenfalls an der Anzahl der Variablen in der Parameterdarstellung erkennbar wird.

Hält man in der Funktion (u,v) -> [x(u,v), y(u,v), z(u,v)] u oder v konstant, so wird jeweils eine Strecke auf Raumpunkte abgebildet, also ergibt sich eine Raumkurve. Mit einem Netz solcher Raumkurven können Raumflächen anschaulich dargestellt werden. Dazu wird zunächst der 3D-Plot von Derive benutzt. Das Programm zeichnet dabei nach den Vorgaben das Kurvennetz in Zentralprojektion.

Eine Parabelfläche

Es gilt x=u, y=v und z=v^2. Für festes x, also in einer Ebene, die parallel zur y,z-Ebene ist, gilt z=y^2. Das Bild dieser Zuordnung ist eine Normalparabel. Mit wachsendem x wird diese Parabel parallel verschoben und erzeugt die Parabelfäche.

Ein Paraboloid

Es gilt x=u, y=v und z=u^2+v^2. Für festes x ergibt sich jeweils eine verschobene Normalparabel in einer zur y,z-Ebene parallelen Ebene. Auch für feste y=v ergeben sich verschobene Normalparabeln. Sie liegen in Ebenen parallel zur x,z-Ebene.

Flächen können auch durch eine einzige Gleichung für zwei Variablen gegeben sein. (Allerdings liegt nach der Definition in diesem Beispiel eigentlich keine 'Fläche' als stetiges Bild eines Rechtecks vor.)

Derive interpretiert u als die x-Variable und v als die y-Variable (alphabetische Reihenfolge). Die Definitionslücke v=1 zerlegt die Fläche in zwei Teile.

Darstellung von Punktmengen im Raum durch Projektion auf eine Ebene

Für viele Zwecke ist die Benutzung von eigenen Projektionsfunktionen zur Darstellung von Punktmengen günstiger als die Benutzung des 3D-Plot-Fensters von Derive. Nach der Projektion erfolgt die Darstellung im gewöhnlichen 2D-Plot-Fenster von Derive. Siehe dazu:

Herleitung der Projektionsfunktionen

Parallelproj. auf die x,z-Ebene mit
parallelxz()

Parallelproj. auf eine zur senkrechte Ebene mit
parallel_n()

Zentralprojektionen mit
zentral()

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