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Projektionen

von Punkten im 3-dimensionalen Raum auf eine Ebene

Die Veranschaulichung von Punktmengen des Raumes erfolgt üblicherweise in einer Ebene. Diese Ebene kann z.B. ein Blatt Papier sein oder auch der Computerbildschirm. Bei der Wahl der Projektionsmethode wird einerseits eine möglichst 'natürliche' Darstellung angestrebt, d.h. das Bild soll im Auge den perfekten Eindruck des Originals hervorrufen. Andererseits sollen die mathematischen Techniken von den Schülern durchschaut werden können.

Als technische Zeichnungen von Hand angefertigt werden mussten und als die Zeichnungen zur Abnahme von benötigten Größen dienten, musste man darauf achten, dass in den Zeichnungen diese Größen in 'wahrer ' Größe abzunehmen waren (z.B. Grund-, Auf- und Seitenrissse). Außerdem durfte die Konstruktion auch nicht zu aufwendig werden. Aus diesen Gründen bot sich eine Parallelprojektion auf eine Ebene an. Geht man davon aus, dass der Rechner die Zeichnung nach dem vorgegebenen mathematischen Verfahren anfertigt, kann man auch die Zentralprojektion als die natürlichere Projektion verwenden.

Hier sollen die folgenden 3 Projektionsverfahren behandelt werden:

Parallelprojektion auf die x,z-Ebene

Das ist das mathematisch einfachste Verfahren. Bei diesem Verfahren genügen elementare Kenntnisse der Vektorgeometrie (Vektorraumverknüpfungen, Ortsvektorraum).

Parallelprojektion auf eine Ebene, die senkrecht zur Projektionsrichtung ist

Hierbei sind die Ergebnisse zwar befriedigender, aber der mathematische Aufwand wird erheblich größer (Skalarprodukt, Orthonormalvektor, Basis für 2-dim. Raum in einer Untermenge des 3-dim. Raumes).

Zentralprojektion auf eine Ebene

Diese Abbildung ist mathematisch ähnlich zu behandeln wie die Parallelprojektion auf eine zu gegebenem r-Vektor senkrechte Ebene. Sie liefert die natürlichsten Bilder.

Derive 5 - Text

Kommentar

Parallelprojektion auf die x,z-Ebene

r:=[richt_x,richt_y,richt_z]

Der Projektionsvektor r; er gibt die Richtung der Projektion an

p:=[x,y,z]

Ein beliebiger Punkt P (bzw.Ortsvektor p) im Raum

b:=[bild_x,bild_y,bild_z]
bild_y:=0

Da der Bildpunkt B in der x,z-Ebene liegt (zugeordnet ist der Bild-Ortsvektor b ), ist die y-Koordinate Null.

b=p+c•r

Die Vektorgleichung für die Projektion

Mit Micrografx Designer 7 erstellt

[bild_x=x+c·richt_x,0=y+c·richt_y,bild_z=z+c·richt_z]

Vereinfachen und lösen nach bild_x, bild_z und c . Mit den Lösungen des linearen Gleichungssystems wird die Projektionsfunktion parallelxz() definiert (richt_y ungleich 0).


Parallelprojektion auf eine zur Projektionsrichtung senkrechte Ebene

p:=[x,y,z]

r:=[richt_x,richt_y,richt_z]

b:=[bild_x,bild_y,bild_z]

Ein beliebiger Punkt P ,eine Projektionsrichtung r und der Bildvektor b

r•b=0

Die Bildebene wird durch den Nullpunkt gelegt. Mit der Orthonormalform der Projektionsebenen-Gleichung ergibt sich diese Gleichung für die Bildvektoren b .

p-d•r=b

Vektorsumme für den Bildvektor

Gleichungssystem für [bild_x,bild_y,bild_z]

v1:=[-richt_y,richt_x,0]

In der Projektionsebene wird mit zwei Vektoren v1 und v2 ein kartesisches Koordinatensystem aufgespannt. Dabei liegt v1 in der x,y-Ebene. Mit der Projektion von r in die x,y-Ebene [richt_x,richt_y,0] erhält man senkrecht dazu v1

v2:=CROSS(r,v1)

Der Vektor der zweiten Achse v2 ergibt sich mit dem Kreuzprodukt

Der Bildvektor b muss als Linearkombination der Vektoren v1 und v2 darstellbar sein. Mit den zugehörigen Einheitsvektoren ergeben sich dann die Koordinaten für die Darstellung des Bildpunktes in einer Ebene

Das zur Vektorgleichung gehörende Gleichungssystem -
Mit den errechneten Werten für b können dann und bestimmt werden.
(Schön, dass Derive diesen Wust ausrechnet.)

Die beiden Koordinaten für den Bildpunkt

Die Projektionsfunktion parallel_n() für P(x|y|z) und [richt_x,richt_y,richt_z] auf eine zu r senkrechte Ebene


Zentralprojektion von einem Punkt A aus auf eine Ebene senkrecht zu einer Richtung r

r:=[richt_x,richt_y,richt_z]
b:=[bild_x,bild_y,bild_z]
a:=[auge_x,auge_y,auge_z]
n:=[nx,ny,nz]

Ein beliebiger Punkt P ,eine Projektionsrichtung r , ein Augenpunkt A und der Bildvektor b

Vektorgleichung für den zu P gehörenden Bildpunkt B

B liegt in einer Ebene durch den Nullpunkt, die senkrecht zu r ist

Gleichungssystem für b

Die Lösungen werden den Variablen zugewiesen

v1:=[-richt_y,richt_x,0]
v2:=CROSS(r,v1)

Da B in einer Ebene liegt, können die Bildkoordinaten [bild_x,bild_y,bild_z] als Koordinaten für ein v1,v2-Koordinatenystem in der Ebene umgerechnet werden. Die v1- Achse des Ebenen-Koordinatensystems wird in die Schnittgerade von Projektionsebene und x,y-Ebene gelegt (s. oben bei Parallelprojektion auf eine zu r senkrechte Ebene). Für die Vektoren v1 und v2 gelten diese beiden Gleichungen

Damit lassen sich die Koordinaten im Ebenen-Koordinatensystem berechnen

Mit diesen Lösungen für wird die Projektionsfunktion definiert

Zentralprojektion zentral() von P(x|y|z) ausgehend von A(auge_x|auge_y|auge_z) auf eine Ebene senkrecht zu r

Die Benutzung der Transformationsfunktionen geschieht in folgender Weise:
Zunächst werden die gewünschte obige Definition der Transformation in das eigene Derive-Protokoll übernommen. Danach kann die Funktion in üblicher Weise aufgerufen und in andere Funktionen eingebunden werden
(z.B. mit zentral(1,2,3,4,5,6,7,8,9) oder parallel_n(x,y,z,u,v,w) oder parallelxz(x(t),y(t),z(t),1,1,1) ).

Beispiele für Anwendungen der Transformationsfunktionen:

Parallelproj. auf die x,z-Ebene mit
parallelxz()

Parallelproj. auf eine zur senkrechte Ebene mit
parallel_n()

Zentralproj. mit
zentral()

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