Bedingte Wahrscheinlichkeit - Stochastische Unabhängigkeit


Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es werden zwei Würfel geworfen.
A sei das Ereignis: „Der erste Würfel zeigt eine Zahl <4”.
B sei das Ereignis: „Die Augensumme ist >6”.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für „A und B” .

Man kann die Wahrscheinlichkeit ermitteln, indem im Standardmodell für das Werfen mit zwei Würfeln ( ={(1,1),(1,2),...,(6,6)} ) für alle Elementarereignisse geprüft wird, ob sie die Bedingung „A und B” erfüllen. Als Menge geschrieben, erhält man dann für das gesuchte Ereignis
E={(1,6),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}
Da alle Elementarereignisse {(a,b)} gleichwahrscheinlich sind, kann man mit der Laplaceformel angeben

Das Ereignis „A und B” kann man als Durchschnitt zweier Mengen schreiben:
A={(1,1),(1,2),...(1,6), (2,1),(2,2),...(2,6), (3,1),(3,2),...(3,6)},
B={(1,6),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,2),...(6,6)}.
Gesucht ist P( AB)=P(E).

Es ist günstig, sich hier Wahrscheinlichkeiten als Größen von Teilflächen einer Gesamtfläche vorzustellen. Es wird also ein geometrisches Modell zur Veranschaulichung der Zusammenhänge gewählt. Dabei gelten folgende Beziehungen

Auch aus der grafischen Darstellung wird klar, dass E der Durchschnitt der angegebenen Mengen ist.

Das Eintreffen des Ereignisses AB kann man auch so beschreiben:

1. Schritt: A muss eintreten.
2. Schritt: Unter der Bedingung, dass A eingetreten ist, muss zusätzlich B eintreten.

Im geometrischen Modell bedeutet das:
Nach dem ersten Schritt befindet man sich in der angegebenen Menge A. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist 18/36.
Wenn man von dieser Teilmenge A als neuer ‘-Menge’ ausgeht, ist die Wahrscheinlichkeit, in den Durchschnitt AB=E zu fallen, 6/18.
Für beide Schritte zusammen, also für P(AB), gilt damit im geometrischen Modell:

Es ist der Anteil (6/18) von (18/36) zu bestimmen. Das führt auf die übliche Multiplikation von Anteilen (6/18) (18/36).
Also gilt
P(AB)=P(A)P(„B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist”).

Man schreibt kürzer

P(AB)=P(A)P(B/A).

P(B/A) wird bedingte Wahrscheinlichkeit von B genannt. Darin gibt A an, welches Ereignis als schon eingetreten angesehen wird. Da in der letzten Gleichung alle Wahrscheinlichkeiten bis auf die bedingte Wahrscheinlichkeit schon früher definiert wurden, kann man diese Gleichung auch als Definitionsgleichung für den neuen Begriff ‘bedingte Wahrscheinlichkeit’ ansehen. Für P(A)>0 gilt dann

Manchmal wird diese Beziehung auch als Multiplikationssatz der Stochastik bezeichnet.

Mit dem neuen Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit kann man die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis AB aufteilen in die Berechnung zweier Wahrscheinlichkeiten P(A) und P(B/A). Das kann zu Rechenvereinfachungen führen. Im Beispiel kann P(A) sofort als 1/2 angegeben werden und P(B/A) kann durch Abzählen der Elementarereignisse auf einer Untermenge vonauch leicht ermittelt werden.

Stochastische Unabhängigkeit

Neben einer möglichen Rechenvereinfachung bietet der Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit aber noch die Möglichkeit, einen wichtigen Zusammenhang zwischen zufälligen Ereignissen zu klären. Dazu wird das folgende Zufallsexperiment untersucht.

Zwei Würfel werden einmal geworfen. Die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden zufälligen Ereignisse werden berechnet
A: „Der erste Würfel zeigt eine gerade Zahl”,
B: „Der zweite Würfel zeigt eine Zahl >4”,
P(„A und B”) ist gesucht.

1 .  Alter Ansatz
Wird als die übliche Menge geordneter Paare gewählt, so erhält man durch Vergleich für A eine Menge mit 18 geordneten Paaren, also ist P(A)= 18/36=1/2; für B ergibt sich eine Menge von 12 Paaren, also P(B)=12/36=1/3; für AB ergibt sich die Menge {(2,5),(2,6),(4,5),(4,6),(6,5),(6,6)}, also P(AB)=6/36=1/6.

2.  Neuer Ansatz mit bedingter Wahrscheinlichkeit

Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit ergibt sich
P(A)=1/2 (18 blau gefärbte Teilflächen);
P(B/A)=6/18=1/3 (6 doppeltschraffierte von 18 gefärbten Teilflächen)

P(AB)= P(A)P(B/A)=1/2*1/3=1/6

3.  Ansatz
Betrachtet man die einzelnen Würfel getrennt, also jeweils mit ={1,2,3,4,5,6}, so ergibt sich
P(A)=1/2, P(B)=1/3. P(B) ist also genauso groß wie P(B/A).

In jedem Modell ergibt sich P(A)=1/2, was auch nicht überrascht, da für die Formulierung von A das Ereignis B gar nicht mit betrachtet wird. P(B/A)=P(B) zeigt aber etwas Neues. Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann berechnet werden, ohne dass A berücksichtigt wird. Dieses Ergebnis scheint uns auch sinnvoll, denn nach unserer Erfahrung beeinflusst das Ereignis A des ersten Würfels nicht die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B des zweiten Würfels. Die Würfelereignisse des einen Würfels sind unabhängig von den Würfelereignissen des andern Würfels. Wenn solche Beziehungen gelten, kann man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis AB einfach durch das folgende Produkt berechnen

P(AB)=P(A)P(B)
Die Erfahrungsgewissheit, dass manche Ereignisse keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse haben, nutzt man zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit

Definition
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig genau dann, wenn gilt

P(B/A)=P(B)
Gilt diese Gleichung nicht, heißen die Ereignisse stochastisch abhängig.

Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit ist beweisbar, dass aus P(B/A)=P(B) auch P(A/B)=P(A) folgt.
Ebenso wie für zwei zufällige Ereignisse kann die Unabhängigkeit auch für mehr als zwei Ereignisse definiert werden.
Sind zwei Ereignisse nach unserer Erfahrung physikalisch unabhängig, so nehmen wir stets an, dass sie auch stochastisch unabhängig sind.

Sind Ereignisse stochastisch unabhängig, können in vielen Anwendungsfällen Wahrscheinlichkeiten einfacher berechnet werden. Denn bei einem komplexen stochachstischen Ereignis mit entsprechend komplexem kann man den Vorgang in einfachere Teile zerlegen, und mit der Multiplikationsformel für unabhängige Ereignisse kann die Wahrscheinlichkeit für das gegebene, komplexe Ereignis berechnet werden.

Beispiel

Es werden 7 Würfel einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder Würfel eine Zahl <5 zeigt?

Lösung
Es wird P(„1. Würfelzahl <5 und....und 7.Würfelzahl <5”) gesucht - mit den zugeordneten Mengen also P(A1A2 .... A7).
Es wird angenommen, dass alle Würfel stochastisch unabhängig sind. Damit benötigt man zur Berechnung nicht mehr Teilmengen aller Würfel-7-Tupel, sondern nur noch die Wahrscheinlichkeiten von Einzelwürfeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel eine Zahl <5 zeigt, ist 4/6. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann

P(A1A2 ....A7) = P(A1)P(A2)....P(A7)=(4/6)7.

Regel zur Vereinfachung von Wahrscheinlichkeitsberechnungen

Kann ein zufälliges Ereignis in der Form „A und B” bzw. AB geschrieben werden, so prüft man, ob aufgrund der Versuchsbedingungen die Wahrscheinlichkeit für A die Wahrscheinlichkeit für B beeinflusst. Ist das nicht der Fall, kann man die Ereignisse als stochastisch unabhängig ansehen. Dann gilt P(AB)=P(A)P(B). Analoges gilt für mehr als zwei Ereignisse.