In der Stochastik untersucht die Mathematik Zufallsvorgänge. Man nennt diesen Mathematikbereich auch Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Für zufällige Ereignisse versucht man Zahlen zu bestimmen, die angeben, wie sicher sie eintreten. Diese Zahlen heißen Wahrscheinlichkeiten der zufälligen Ereignisse.
Zufällige Ereignisse
Auf Grund unserer Erfahrung bezeichnen wir verschiedene Ereignisse als zufällig. Typisch dafür ist die Augenzahl, die ein Würfel nach einem Wurf zeigt. Die Lottozahlen, werden ebenfalls als zufällig gezogen eingeschätzt. Auch die Wettervorhersage kann als zufällig angesehen werden.
Allen diesen Ereignissen ist gemeinsam, dass man nicht sicher vorhersagen kann, welches Ereignis aus einer bestimmten Anzahl von möglichen Ereignissen eintreffen wird.

Hier ist als Beispiel ein 'Glücksrad' mit verschieden gefärbten Sektoren als Zufallsgenerator gewählt worden. Lässt man das Rad mehrmals drehen, so soll jeder Punkt auf dem Rand die gleiche Chance haben, Anhaltepunkt gegenüber dem Zeigerfeld zu werden. Es soll aber nur untersucht werden, welche Farbe der Sektor hat, auf den der Zeiger zeigt.

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Relative Häufigkeiten von zufälligen Ereignissen
Lässt man das Glücksrad n-Mal laufen und notiert die Haltefarbe des Sektors gegenüber dem Zeiger, so erhält man eine Verteilung der Farbhäufigkeiten. Teilt man diese absoluten Häufigkeiten durch die Anzahl n aller Versuche, so erhält man eine Verteilung der relativen Häufigkeiten für die Farben. Als Beispiele können hier mehrfach jeweils n=200 Drehzahlen gewählt werden. Es wird jeweils die sich zufällig ergebende Häufigverteilung angezeigt.

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Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses
Man beobachtet bei häufigen Wiederholungen des Drehexperiments, dass die einzelnen relativen Häufigkeiten sich um bestimmte Werte konzentrieren. Diese Werte werden Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses genannt. Für die zufälligen Ereignisse
rot  gelb  grün  hellblau  dunkelblau  scheinen es die eingetragenen Werte zu sein:
3/8
1/8
2/8
1/8
1/8
Die eingetragenen Werte sind auch die zugehörigen Bruchteile der Kreisbogenlänge.
Diese Stabilisierungswerte werden als Wahrscheinlichkeiten für die zufälligen Ereignisse
rot  gelb  grün  hellblau  dunkelblau  gewählt.

Betrachtet man diese Wahrscheinlichkeiten, so erscheint es sinnvoll, dass die zufälligen Ereignissegelb  hellblau  dunkelblau  die gleiche Wahrscheinlichkeit 1/8 haben, denn die zugehörige Kreisbogenlänge ist jeweils 1/8 der gesamt möglichen Bogenlänge. Ebenso ist es überzeugend, dass rot  die Dreifache Wahrscheinlichkeit 3/8 hat, da auch der zugehörige Bogen 3-Mal so lang ist. Entsprechend hat grün  die doppelte Wahrscheinlichkeit 2/8.

Durch Betrachtung der Bogenlängen-Verhältnisse kann man diese Wahrscheinlichkeiten finden, ohne das Glücksrad drehen zu müssen.

Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten
Ist A ein zufälliges Ereignis, so schreibt man für Wahrscheinlichkeit von A:   P(A)  . Da die Wahrscheinlichkeiten als Stabilisierungswerte von relativen Häufigkeiten gewählt werden, gilt für alle zufälligen Ereignisse A   0 ≤ P(A) ≤ 1 , denn relative Häufigkeiten können nur diese Werte annehmen.
Tritt ein zufälliges Ereignis bei jedem Zufallsversuch ein, so ist die relative Häufigkeit dafür 1. Solche Ereignisse werden sicheres Ereignis - als Symbol: Ω - genannt. Es gilt also P(Ω) = 1.
Tritt ein zufälliges Ereignis bei keinem Zufallsversuch ein, so ist die relative Häufigkeit dafür 0. Solche Ereignisse werden unmögliches Ereignis - als Symbol: ø - genannt. Es gilt also P(ø) = 0.

Zusammengefasst gilt also, dass die Wahrscheinlichkeit von 0 bis 1 wachsen kann. Je größer die Wahrscheinlichkeit für ein zufälliges Ereignis ist, um so größer ist die Sicherheit dafür, dass es bei einem Zufallsversuch eintritt.

Die Menge der zufälligen Ereignisse
Wird ein Zufallsexperiment durchgeführt, so können verschiedene zufällige Ereignisse stattfinden. Als Beispiel soll der einmalige Wurf mit einem Würfel untersucht werden. Als einfachste zufällige Ereignisse kann man die folgenden 6 Ereignisse ansehen, die Elementarereignisse genannt werden:
A1: Es wird die 'Eins' gewürfelt.
A2: Es wird die 'Zwei' gewürfelt.
A3: Es wird die 'Drei' gewürfelt.
A4: Es wird die 'Vier' gewürfelt.
A5: Es wird die 'Fünf' gewürfelt.
A6: Es wird die 'Sechs' gewürfelt.
Daneben gibt es aber noch weitere zufällige Ereignisse, wie:
Es wird eine 'Eins' oder eine 'Zwei' gewürfelt.
Es wird eine Zahl ≤ 3 gewürfelt.
Es wird keine gerade Zahl gewürfelt.
Bei jedem Zufallsexperiment gibt es dann noch das sichere Ereignis. Beim Würfel könnte man z.B. dafür formulieren: Es wird eine Zahl ≤ 6 gewürfelt.
Außerdem gibt es stets das unmögliche Ereignis. Beim Würfel könnte man sagen: Es wird eine Zahl ≤ 0 gewürfelt.

In der gewöhnlichen Sprache kann man auf vielfache Weise ein zufälliges Würfelereignis angeben. Dann muss man sich stets klar machen, welche der Augenzahlen der Würfel zeigen kann, damit das Ereignis eingetreten ist. Beispiel:
Zufallsereignis A: Es wird eine gerade Augenzahl gewürfelt,
Zufallsereignis B: Es wird eine 'Zwei' oder eine 'Vier' oder eine 'Sechs' gewürfelt.
Vergleicht man die beiden Ereignisse, so erkennt man, dass es zwei Beschreibungen für das selbe Ereignis sind. Um zu einer einheitlichen Angabe für Zufallsereignisse zu kommen, führt man die Mengenschreibweise für Zufallsereignisse ein.

Ein Elementarereignis ist eine Menge mit einem Element. Beim Würfel gibt dieses Element die gewürfelte Augenzahl an. Am einfachsten also {1} für das Elementarereignis 'Eine Eins wird gewürfelt'.
Es liegt dann nahe, für das unmögliche Ereignis die leere Menge  ø  zu wählen.
Für das sichere Ereignis wird die Menge  Ω = {1,2,3,4,5,6} gewählt. Das ist die Vereinigungsmenge aller Elementarereignisse.
Alle andern zufälligen Ereignisse sind (auch) Teilmengen von  Ω . Beispiel: Das Ereignis {1,2,6} ist eingetreten, wenn der Würfel eine 'Eins' oder eine 'Zwei' oder eine 'Sechs' zeigt.

Jedes sprachlich formulierte Zufallsereignis kann in eine Teilmenge von  Ω  übersetzt werden.

Gleich wahrscheinliche Elementarereignisse
Beim Würfel liegt die Wahl der Elementarereignisse {1}, {2},...,{6} für die Augenzahlen nahe. Verfolgt man die relativen Häufigkeiten von Würfelereignissen, so stellt man fest, dass sich alle relativen Häufigkeiten für die Elementarereignisse bei 1/6 stabilisieren. Es wird gesetzt:  P({1})=P({2})=P({3})=P({4})=P({5})=P({6})=1/6.  Diese Wahl ist plausibel, denn wegen der Symmetrie eines Würfels ist keine Augenzahl bevorzugt - alle sind gleich wahrscheinlich.

Damit ist klar, dass sich die relative Häufigkeit von {1,2} bei 1/6+1/6 stabilisiert, es gilt also P({1,2})=2/6. Die gleiche Wahrscheinlichkeit ergibt sich für alle zweielementigen Ereignisse.

Für das dreielementige Zufallsereignis {1,4,6} gilt analog P({1,4,6})=3/6.

Allgemein erkennt man, dass die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Würfelereignisses allein von der Anzahl der Elemente des Ereignisses und von der Anzahl der (gleichwahrscheinlichen) Elementarereignisse abhängt:
P(A)=(Anzahl der Elemente von A)/6  .
Eine Überprüfung für das sichere Ereignis   Ω  ergibt erwartungsgemäß P(Ω)=6/6=1.
Für das unmögliche Ereignis erhält man ebenfalls den richtigen Wert:   P(ø)=0/6=0.

Der Satz von Laplace
Die Ergebnisse der Überlegungen für den Würfel können verallgemeinert werden: Sind die Elementarereignisse gleichwahrscheinlich, so gilt für ein beliebiges zufälliges Ereignis A

 


Hieran wird deutlich, welche herausragende Bedeutung gleich wahrscheinliche Elementarereignisse haben: In diesem Fall können die Wahrscheinlichkeiten für Zufallsereignisse direkt durch Abzählen von Elementzahlen berechnet werden. Die praktische Durchführung von Zufallsexperimenten wird überflüssig. Zufallsexperimente mit gleich wahrscheinlichen Elementarereignissen werden Laplace-Experimente genannt. Solche Laplace-Experimente ergeben sich i.a. dann, wenn bestimmte Symmetrieeigenschaften vorliegen; wenn man annehmen kann, dass kein Elementarereignis 'bevorzugt' ist.

Beispiele für Laplace-Experimente