Sprachebenen und -Regelungen in der Stochastik



1   Ein mathematisches Modell

Die Stochastik ist eine mathematische Theorie und deshalb gibt es in ihr auch nur mathematische Elemente mit mathematischen Verknüpfungen.

In der (nichtmathematischen) Wirklichkeit versucht man, Zufallsvorgänge zu erfassen zu beschreiben und zu bewerten. Dabei verwendet man Begriffe und Beschreibungen aus der gewöhnlichen Sprache.

Die Mathematik bietet ihre Theorie Stochastik als Modell zur Erfassung von Zufallsvorgängen an. Ob dieses Modell passend ist, kann nur durch Bewährung der Theorie an beobachteten Zufallsvorgängen entschieden werden.
Dieses Verhältnis von mathematischer Theorie und Wirklichkeit tritt bei allen außermathematischen Anwendungen von Mathematik auf; insbesondere in der Physik.

Wenn über Zufallsvorgänge gesprochen wird, kann man entweder die Sprache der Mathematik oder die gewöhnliche Sprache benutzen. Um einen klaren Zusammenhang zwischen den mathematischen Aussagen und den allgemeinsprachlichen Aussagen herzustellen, müssen die Beziehungen zwischen diesen beiden Sprachebenen klar geregelt sein. Es muss eine Übersetzung zwischen ihnen geben. Sobald diese Beziehungen geregelt sind, kann man die Struktur einer mathematischen Lösung eines Zufallsproblems in folgender Weise schematisch darstellen

 

Für die Übersetzung zwischen den beiden Sprachebenen (oder Sprachen) soll die folgende Zusammenstellung benutzt werden

 

2   Übersetzungen zwischen Modell und Anwendung

3   Mischung der Sprachebenen

Zur Verkürzung der Darstellung werden gelegentlich die Sprachebenen gemischt, wenn das mathematische Modell gegeben ist. Ein Beispiel für den Zufallsvorgang „Einmal Werfen mit einem Würfel”:

Es wird geschrieben P( „gerade Zahl”) = .5 .

Dabei ist also die Menge {2,4,6} ersetzt worden durch die allgemeinsprachliche Entsprechung „gerade Zahl” . Wenn keine Verwechselungen möglich sind, soll so etwas zugelassen werden.

 

4   Venndiagramme zur Veranschaulichung

Eine gute Veranschaulichung für die Zusammenhänge von zufälligen Ereignissen und ihren Wahrscheinlichkeiten bieten Venndiagramme, bei denen zufällige Ereignisse als Flächen und Wahrscheinlichkeiten als Flächengrößen dargestellt werden.
Beispiel:

Veranschaulichung des Beweises des Additionssatzes der Stochastik

 

Man erkennt, dass der Durchschnitt zweimal auftritt als Teilfläche. Werden die Teilflächeninhalte vereinigt - werden also die Wahrscheinlichkeiten addiert - muss das berücksichtigt werden. Damit gilt

 

An einem Beispiel wird gezeigt, wie durchsichtig und überzeugend die Modellierung von zufälligen Ereignissen durch ein Mengensystem funktioniert.

 

5   Struktur der Übersetzung in das mathematische Modell an einem Beispiel

Ein kompliziert formuliertes zufälliges Ereignis wird logisch analysiert und in eine Menge übersetzt. Es wird mit einem Würfel einmal geworfen. Das folgende Ereignis wird übersetzt: