Stabilisierung der relativen Häufigkeit
Streuungsungleichung


Hat X eine Binomialverteilung, so lässt sich für a>0 die Wahrscheinlichkeit

ausrechnen, denn die Binomialwahrscheinlichkeiten sind ebenso bekannt wie und . Aus Erfahrung weiß man, dass sich bei einem Binomialexperiment (wie Würfeln) die relative Häufigkeit für ein Ereignis bei der angenommenen Grundwahrscheinlichkeit p ' stabilisiert' . Es ist klar, dass die Stabilisierung nicht als gewöhnlicher Grenzwertprozess ansehbar ist (wie gezeigt wurde). Nun können wir diesen Stabilisierungsprozess mathematisch genauer erfassen. Diese Untersuchungen führen zur Streuungsungleichung, einer fundamental wichtigen Erkenntnis der Stochastik.

Die Zufallsgröße der relativen Häufigkeit ist X/n. Mit der obigen Wahrscheinlichkeit für die binomialverteilte Zufallsvariable X ergibt sich

Wird gesetzt , erhält man

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die relative Häufigkeit x/n von p um mehr als abweicht, ist also gleich der links stehenden Wahrscheinlichkeit für die binomialverteilte Zufallsvariable X. Diese Wahrscheinlichkeit für X wird nun mehrfach abgeschätzt und dann ergibt sich mit dieser Schätzung die zentrale Aussage über die relative Häufigkeit. Es gilt

Schließlich hat sich also ergeben

Damit ist wegen auch

Nach der obigen Definition von gilt . Damit ergibt sich

Diese Ungleichung wird als Streuungsungleichung bezeichnet. Die Bedeutung wird deutlicher mit der folgenden Umformung.
Weil p(1-p) ein Parabelterm mit 0<p<1 ist, kann abgeschätzt werden durch . Damit folgt dann


Diese Ungleichung liefert die gesuchte Präzisierung für die Erfahrung der Stabilisierung der relativen Häufigkeit. Wegen der vielen Einflussgrößen (X,, n, P) ist die Aussage ziemlich komplex. Einfacher lässt sich diese Stabilisisierung aber nicht formulieren. Mithilfe des gewöhnlichen Grenzwerts für den rechten Term der obigen Ungleichung kann man aber auch schreiben:

x/n konvergiert nicht gegen p, aber die Wahrscheinlichkeit P dafür, dass x/n von p um mehr als abweicht, konvergiert gegen 0. Man sagt:

x/n konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen p

Wegen der vielen Abschätzungen, die erst zum Ziel führten, ist die Aussage der Streuungsungleichung sehr 'vorsichtig' , d.h. die Wahrscheinlichkeit
ist bei realen Beispielen in der Regel viel kleiner als

Ein Beispiel
Gegeben sei eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit n=200 und p=0,4. Man erwartet eine Stabilisierung von x/n etwa bei 80/200 = 0,4. Für ergibt die Streuungsungleichung

Mit Derive kann man mit den Binomialwahrscheinlichkeiten P(x) exakt ausrechnen

Die Bedeutung der Streuungsungleichung liegt also nicht in der praktischen Anwendbarkeit, sondern in der Klärung des Begriffs der 'Stabilisierung' von relativen Häufigkeiten.