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Äquivalenzumformungen für Gleichungen
Aussagen und Aussageformen

Eine Aussage ist in der Logik (und Mathematik) ein Satz, der wahr oder falsch ist.
Beispiele für Aussagen:
   Heute ist Montag,
   3=5,
   4=4.
Beispiele für Ausdrücke, die keine Aussagen sind:
   Heute ist grün,
   3==4.

Ist eine Gleichung mit Variablen gegeben, z.B. y=3x-1, so liegt keine Aussage vor. Werden aber für die Variablen Zahlen eingesetzt, so erhält man eine Aussage: 7=3*2-1 oder 23=3*8-1.Die erste dieser Gleichungen ist eine falsche und die zweite eine wahre Aussage. Durch Einsetzen von Werten für die Variablen erhält man also eine wahre oder falsche Aussage. Ausdrücke, die durch Einsetzen von Zahlenwerten für Variablen zu Aussagen werden, nennt man Aussageformen. Gleichungen mit Variablen sind also Aussageformen.

Ist eine Gleichung mit Variablen gegeben, so kann man nach Einsetzungen von Zahlen für die Variablen suchen, die die Gleichung zu einer wahren Aussage machen. Das nennt man 'die Gleichung lösen'. Die Menge aller Einsetzungen, die die Gleichung lösen, heißt Lösungsmenge L.

Bei jeder Gleichung mit Variablen muss festgelegt sein, aus welcher Zahlmenge überhaupt die Einsetzungszahlen gewählt werden dürfen. Diese Menge heißt Definitionsmenge D der Gleichung.

Beispiel 1: 3x=12 mit D=Q. Wird gesetzt x=4, so ergibt sich die wahre Aussage 12=12. 4 ist also eine Lösung der Gleichung. Man sieht, dass es keine anderen Lösungen gibt. Die Lösungsmenge ist damit L={4}.

Beispiel 2: 3x=12 und D={1,2,3,5,6}. Bei dieser Definitionsmege hat die Gleichung keine Lösung. Man schreibt als Lösungsmenge L={}.

 

Wir werden zunächst nur Gleichungen der Form ax+b=cx+d behandeln. Dabei sind a,b,c,d Parameter oder Formvariablen . Allein die Variable x ist die Lösungsvariable . Es sind also Gleichungen zu lösen wie: 3x+1=-x-12, 0=4x+2, 1=x+7, 2x=3 usw. Bisher haben wir zum Lösen Tauschaufgaben benutzt, um x allein auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Jetzt werden wir ein Verfahren kennenlernen, mit dem man die Lösungen einfacher finden kann - wir werden Äquivalenzumformungen benutzen.

 

Äquivalenzumformungen

Das Ziel beim Benutzen von Äquivalenzumformungen ist eine Umformung der gegebenen Gleichung in eine Form, bei der man die Lösungen sofort sieht. Diese Umformungen der gegebenen Gleichung müssen aber so gewählt werden, dass sich beim Umformen die Lösungsmenge nicht ändert. Solche

Umformungen, die die Lösungsmenge nicht ändern, heißen Äquivalenzumformungen.

(Beispiele dafür sind die schon oft benutzten Tauschaufgaben - es gibt aber noch andere) Zum Verständnis der Äquivalenzumformungen wollen wir ein bestimmtes Modell - die Balkenwaage - benutzen. Dazu stellen wir uns vor, dass jede Gleichungsseite einer gegebenen Gleichung entsprechend dem gegebenen Term mit Gewichtsstücken dargestellt wird. Wird für x das richtige Gewicht gewählt (eine Lösung der Gleichung), ist die Waage im Gleichgewicht. Äquivalenzumformungen entsprechen Änderungen der Gewichtsverteilung, die die Waage im Gleichgewicht lassen.
Beispiel (D=Z):

Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn für
x das richtige Gewicht (Maßzahl) gewählt ist.
Ohne die Gleichgewichtslage zu ändern, wird das Gewicht 1 auf beiden Seiten entfernt.
Auf beiden Seiten 1 subtrahieren.

Klick!

Man schreibt für diesen Lösungsweg mit äquivalenten Umformungen der Gleichung:
Prüft man, welche weiteren Äquivalenzumformungen möglich sind, so findet man schließlich (das geht nicht in allen Fällen mit dem Waagemodell) die folgenden äquivalenten Umformungen:
Folgende Lösungsstrategie ist häufig sinnvoll:
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