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Beweisen


Und doch ist etwas daran, daß der mathematische Beweis einen neuen Begriff schafft.- Jeder Beweis ist gleichsam ein Bekenntnis zu einer bestimmten Zeichenverwendung.
...
Der Beweis muß ein anschaulicher Vorgang sein. Oder auch: der Beweis ist der anschauliche Vorgang.

Nicht etwas hinter dem Beweis, sondern der Beweis beweist.

(Wittgenstein, Bemerkungen über die Grundlagen der Mathemtik, Suhrkamp, 3. Aufl. 1989, S.172)

 

Nach Tarski kann ein vollständiger Beweis in folgender Weise charakterisiert werden:

Man baut eine Kette von Sätzen auf, deren erste Glieder Sätze sind, die schon früher als wahr erkannt wurden, in der ferner jedes folgende Glied aus den ihm vorausgehenden durch Anwendung einer Schlußregel gewonnen werden kann und schließlich das letzte Glied der zu beweisende Satz ist.
Es sollte darauf geachtet werden, eine wie elementare Form - vom psychologischen Standpunkt aus - die mathematischen Überlegungen dank der Kenntnis und Anwendung der Lehrsätze der Logik und der Regeln des Beweisens annehmen; komplizierte Denkvorgänge lassen sich restlos auf so einfache Tätigkeiten zurückführen wie auf das aufmerksame Betrachten von Lehrsätzen, die schon früher als wahr anerkannt wurden, auf das Wahrnehmen von strukturellen, rein äußerlichen Zusammenhängen zwischen diesen Lehrsätzen und auf das Ausführen von mechanischen Umformungen, wie sie von den Regeln des Beweisens vorgeschrieben werden.

(A. Tarski, Einführung in die mathematische Logik, Göttingen, 1971, S.61).

 

In seiner Entwicklung der formalistischen Mathematik schreibt D. Hilbert:

...Ganz entsprechend wie beim Übergang von der inhaltlichen Zahlenlehre zur formalen Algebra betrachten wir die Zeichen und Operationssymbole des Logikkalküls losgelöst von ihrer inhaltlichen Bedeutung. Dadurch erhalten wir schließlich an Stelle der inhaltlichen mathematischen Wissenschaft, welche durch die gewöhnliche Sprache mitgeteilt wird, nunmehr einen Bestand von Formeln mit mathematischen und logischen Zeichen, welche sich nach bestimmten Regeln aneinanderreihen. Den mathematischen Axiomen entsprechen gewisse unter den Formeln, und dem inhaltlichen Schließen entsprechen die Regeln, nach denen die Formeln aufeinanderfolgen: das inhaltliche Schließen wird also durch ein äußeres Handeln nach Regeln ersetzt, und es wird damit einerseites für die Axiome selbst, die doch auch ursprünglich naiv als Grundwahrheiten gemeint waren, die aber längst in der modernen Axiomatik bloß als Verknüpfungen von Begriffen angesehen wurden, wie ferner auch für den Logikkalkül, der ursprünglich nur eine andere Sprache sein sollte, jetzt der strenge Übergang von naiver zu formaler Behandlung vollzogen.

Nur die Art, wie der mathematische Beweis formalisiert wird, sei noch kurz erläutert. Gewisse Formeln, die, wie ich sagte, als Bausteine des formalen Gebäudes der Mathematik dienen, werden Axiome genannt. Ein mathematischer Beweis ist eine Figur, die uns als solche anschaulich vorliegen muß; er besteht aus Schlüssen vermöge des Schlußschemas

   S
S →T
_____
   T

wo jedesmal jede der Prämissen, d.h. der betreffenden Formeln S und S → T, entweder ein Axiom ist bzw. aus einem Axiom durch Einsetzung entsteht oder mit der Endformel eines Schlusses übereinstimmt, der vorher im Beweise vorkommt, bzw. aus ihr durch Einsetzung entsteht. Eine Formel soll beweisbar heißen, wenn sie entweder ein Axiom oder Endfomel eines Beweises ist....

(Nach: Oskar Becker, Grundlagen der Mathematik, Suhrkamp, 1975, S.378)

 

Die obigen Formulierungen können als fachwissenschaftlicher Orientierungsrahmen und Zielprojektion dienen, wenn es um das Lehren des Beweisens in der Schule geht.

Mathematisches Beweisen beginnt mit anschaulichem, inhaltlichen Schließen in der gewöhnlichen Sprache, gegebenenfalls unterstützt durch Bilder. Mit zunehmenden Ansprüchen an die Sicherheit und Überprüfbarkeit von Beweisen werden immer mehr inhaltliche Bedeutungen und selbst logische Schußregeln durch formales Verknüpfen von Zeichen ersetzt. In der Endphase ist Beweisen ein inhaltleeres Spiel mit bestimmten Regeln zur Erzeugung von Zeichenketten. Im gewöhnlichen Mathematikunterricht wird man über eine Mischform von umgangssprachlichen Elementen und formal-aussagenlogischen Teilen kaum herauskommen.

Ist die Formulierung von Beweisen auf der Stufe der Erzeugung von Zeichenketten angekommen, so ist es nur ein Schritt, diese Erzeugung von Zeichenketten nach bestimmten Regeln automatisch ausführen zu lassen, so wie es der Computer tatsächlich tut. Eine Maschine zum Beweisen von mathematischen Sätzen steht damit prinzipiell zur Verfügung. Hier zeigen sich Perspektiven für Modernisierungen des herkömmlichen Mathematikunterrichts durch Einbeziehung der prinzipiellen Funktionsweise der mathematischen Maschine Computer (Konzept von J.v. Neumann) und der prinzipiellen Beschränkung der Erzeugung aller Sätze einer Theorie (Gödels Sätze).

Im folgenden werden nun Beispiele für Beweise in schulüblicher Form angegeben. Sie haben ganz unterschiedliche Form, denn sie sind für Leser (Schüler) auf verschiedenen Stufen mathematischer Bildung gedacht. Anders ausgedrückt: Die Formalisierungsstufen der zur Verfügung stehenden mathematischen Theorie sind verschieden weit entwickelt. Man könnte nun (dennoch) versuchen, sie auf eine Form zu bringen, wie sie bei Tarski oder Hilbert vorgeschlagen wird.

Die folgenden Axiome der Stochastik seien gegeben:
(1) P(Ω) = 1
(2) P(A) ≥ 0
(3) Aus A ∩ B = Ø folgt P(A U B) = P(A) + P(B)

Satz: P(Ø) = 0

Beweis:
(a) Ø U Ω = Ω , also ist P(Ø U Ω) = P(Ω).
(b) Aus Ø ∩ Ω = Ø folgt mit (3) P(Ø U Ω) = P(Ω) + P(Ø) .
(c) Aus (a) und (b) folgt P(Ω) = P(Ω) + P(Ø).
(d) Mit (1) und (2) ist (c) äquivalent zu P(Ø) = 0.

 

Eine Tafel Schokolade soll durch Brechen an den ´Sollbruchkanten` mit möglichst wenigen Brüchen in Einzelstücke zerlegt werden. Wieviel Brüche sind bei einer Tafel von n * m Stücken dafür nötig?

1. Ansatz
Es scheint nahe zu liegen, hier mit vollständiger Induktion zu arbeiten. Allerdings muss vorher noch vermutet werden, dass die Anzahl der Brüche unabhängig von der Reihenfolge und der Art der Brüche n*m - 1 ist. Die Durchführung des Beweises erfordert die Betrachtung vieler Details und großer Sorgfalt. (jedenfalls, wenn nicht ein 'Trick' wie im zweiten Ansatz gesehen wird.)

2. Ansatz
Man erkennt, dass jeder Bruch eines Schokoladenteils dieses in 2 Teile zerlegt. Die Anzahl der vorhandenen Teilstücke nimmt bei jedem Bruch um 1 zu. (Siehe Schnitte A und B).
Es wird mit einem Stück (der Tafel) begonnen. Nach dem x-ten Bruch liegen dann x+1 Stücke vor.
Die Anzahl der Brüche ist also um 1 geringer als die Anzahl der Bruchstücke. Für n*m Bruchstücke sind damit n*m - 1 Brüche erforderlich. (Bei dieser Form des Beweises ist die ' vollständige Induktion' offenkundig wahr.)

 

Vorausgesetzt werden die Formeln zur Berechnung von Rechteckinhalten.

Satz: Sind a,b und c Variablen für reelle Zahlen, so gilt
(a + b)² = a² + b² + 2ab .

Beweis:
Ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b wird wie angegeben in Teilflächen zerlegt. Die Summe der Teilflächengrößen wird mit der Größe der Gesamtfläche gleichgesetzt. (Der ' Beweis' ist eigentlich nur eine Veranschaulichung der Satzaussage in einem Beispiel für Untermengen der Definitionsmengen.)

 

Vorausgesetzt werden die Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen, insbesondere
a(b + c) = ab + ac und die üblichen Konventionen für Gleichungsketten.

Satz: Sind a,b und c Variablen für reelle Zahlen, so gilt
(a + b)² = a² + b² + 2ab .

Beweis:
Mit den Rechenregeln sind die folgenden identischen Umformungen möglich
(a + b)² = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b = aa + ba + ab + bb = a² + 2ab+ b² .

 

Vorausgesetzt werden die Äqivalenzumformungsregeln für Gleichungen.

Satz: In der Menge der reellen Zahlen hat x² - 3x + 2 = 0 die Lösungsmenge {1,2}.

Beweis:
x² - 3x + 2 = 0 <=> (x-1)(x-2) = 0 <=> x=1 v x=2

(Für den Beweis ist es unerheblich, wie die zweite Gleichung gefunden wurde. Für den Standardeinsatz eines Lösungsverfahrens für quadratische Gleichungen im Unterricht ist allerdings ein stets und regelhaft durchzuführendes Verfahren - z.B. mit qadratischer Ergänzung - sinnvoller. )

 

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