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Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen


Das Lösen von Gleichungen ist die Basis auch für das Lösen von Ungleichungen und Gleichungsystemen. Das Auffinden oder Erfinden von Lösungsverfahren für Gleichungen gehört zu den wichtigten Bereichen der Mathematik. Die gefundenen Verfahren liefern Anwendern von Mathematik in vielen Fällen entscheidende Werkzeuge für ihre Probleme.

Das Entdecken von Lösungsverfahren erfordert häufig viele Versuche, Intuition und mathematische Begabung. Die Formulierung eines Lösungsverfahrens sollte aber so vorliegen, dass es mehr oder weniger schematisch, rechenhaft durchgeführt werden kann.

Zur Entwicklung der Mathematik in der Schule gehören beide Aspekte. Während beim Suchen nach Verfahren die Verwendung einer ausgefeilten mathematischen Syntax eher zweitrangig ist, ändert sich das bei der mathematischen Formulierung der Lösungsverfahren. Die Überprüfung und die Anwendung eines solchen Verfahrens sind nur dann einfach und sicher, wenn die verwendete Begrifflichkeit und Syntax so präzise und so korrekt wie möglich sind. Der Rahmen dafür wird durch den mathematischen Entwicklungsstand der Schüler gezogen. Die Fachsprache dient keineswegs nur der Präzision. Vielmehr werden die Sachverhalte bei Verwendung der Fachsprache auch in größtmöglicher Einfachheit und Übersichtlichkeit dargestellt.

Vor dem algorithmenhaften Anwenden von Lösungsverfahren stehen (nicht nur) in der Schule Probierverfahren. Vor dem ‘Umstellen’ der Gleichung, wird ein Schüler Lösungen für die Gleichung    2x=8    durch Raten suchen und durch Einsetzen der Lösungszahl für x die Wahrheit der Aussage überprüfen.

In Klasse 7/8 werden im Unterricht Prinzipien entwickelt, die Rateverfahren überflüssig machen und als Zugabe sogar sichern, dass alle möglichen Lösungen sicher gefunden werden können. Die Basis aller dieser Verfahren zur Lösung von Gleichungen bilden die Äquivalenzumformungen . Natürlich kann in Klasse 8 keine rein logische Grundlegung dieser Umformungen erfolgen (wie z.B. bei Wäsche und Lauter, Logische Begründung der Lehre von den Gleichungen und Ungleichungen, MU, Klett, Stuttgart....). Ein Modell, das aber den Zugang zu wesentlichen Aspekten einer solchen Begründung in anschaulicher Form anbietet, ist die Balkenwaage. Nach dem Auffinden und Begründen der einzelnen Äquivalenzumformungen (Umformungen beider Gleichungsseiten mit Berücksichtigung der Rolle der Null und identische Umformungen einer Seite) stehen die entscheidenden Hilfsmittel zu Lösung von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen zur Verfügung.

Die Schwierigkeit beim Lösen einer Gleichung liegt i.a. darin, dass man keine möglichen Lösungen sieht . Man sieht i.a. nicht einmal, ob es überhaupt Lösungen gibt. Ein mathematisches Lösungsverfahren mit der Verwendung von Äquivalenzumformungen zeigt, wie man ohne die Lösungsmenge zu ändern, schließlich zu einer Gleichung gelangt, der man diese Lösungsmenge ansieht. Die Überprüfung eines solchen Verfahrens reduziert sich damit darauf, ‘rein mechanisch’ sicher zu stellen, dass die bekannten Äquivalenzumformungen in jedem Schritt korrekt angewendet wurden. Eine ‘Probe’ durch Einsetzen kann manche Rechenfehler beseitigen helfen, sie ist aber für das Lösungsverfahren ohne Bedeutung. Die logischen Beziehungen zwischen zwei Gleichungen können vielfältig sein, und in der Schule kommen sicher die logische 'oder' und 'und' -Verknüpfung vor. Die Äquivalenz von Gleichungen ist eine weitere und bei Lösungsverfahren zentrale Beziehung, also sollte es selbstverständlich sein, dass auch das eingeführte Äquivalenzsymbol geschrieben wird. Eine korrekte Bezeichnungstechnik zeigt den Weg zu der oben beschriebenen einfachen Form der Überprüfung des Lösungsweges in klar abgesicherten Schritten.

An einem Beispiel aus Klasse 8 soll diese Konzeption verdeutlicht werden. Es wird auf der Definitionsmenge der rationalen Zahlen eine Gleichung gelöst

Die letzte Gleichung hat als einzige Lösung 1/3, also hat auch die Ausgangsgleichung als einzige Lösung 1/3. Es ist nichts dagegen einzuwenden, wenn nach einer gewissen Übungsphase Zusammenfassungen und Abkürzungen etwa in folgender Weise erfolgen

In diesem Unterrichtszusammenhang kann auf die zusätzliche Angabe einer Lösungsmenge verzichtet werden. Beim späteren Lösen von linearen Gleichungssystemen kann ohne Probleme bei Wahrung von Exaktheit und Einfachheit auf dieser Basis aufgebaut werden.

Wird ein lineares Gleichungssystem gelöst, so sind die Lösungselemente n-Tupel; bei einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen also geordnete Paare. Dem Ausgangssystem kann man i.a. keine Lösungstupel ansehen, also werden zielgerichtet Äquivalenzumformungen durchgeführt, bis die Lösungstupel zu sehen sind. Die Lösungstechnik besteht darin, im gegebenen Satz von Gleichungen Gleichungen mit einer einzigen Variablen zu erhalten, die dann in bekannter Weise lösbar sind. Die Entwicklung von Lösungsverfahren beginnt auf der Stufe, die von den Verfahren zur Lösung von Gleichungen bekannt sind. Als zielgerichtete Strategie kann von Anfang an die Idee des Gauß-Verfahrens benutzt werden: Auflösen nach einer Variablen und den so erhaltenen Term in alle folgenden Gleichungen einsetzen. Besondere ‘Tricktechniken’, die einige Äquivalenzumformungen für Spezialfälle zusammenfassen (Gleichsetzungs-, Einsetzungsverfahren) sind gänzlich überflüssig, da der Gaußalgorithmus ein sicher durchführbares Verfahren liefert. Gegen eine Formalisierung zum Tableau-Verfahren ist nichts einzuwenden, da hier durchaus Hinführungen zur Matrizenalgebra möglich sind. Damit hätte man den Anschluss an Verfahren, die für Gleichungssysteme mit vielen Variablen geeignet und üblich sind. Mathematische Assistenzprogramme verwenden solche Verfahren und falls im Unterricht größere Matrizen auftreten, wird man i.a. natürlich heute solche Programme einsetzen. An einem Beispiel soll gezeigt werden, wie in der Anfangsphase ein Gleichungssystem mit den vorhandenen Verfahren lösbar ist.

Natürlich ist es sinnvoll, die Standardschreibweisen zu benutzen. Damit werden logische Verknüpfunen zwischen den Gleichungen durch die Schreibweise deutlich. Kommentare zur Beschreibung des Vorgehens können angefügt werden (sie gehören aber nicht zum Lösungsverfahren, sie sind nur ein ‘Service’ für den Leser). Didaktisch-methodische Privatschreibweisen für das Lösungsverfahren sind gänzlich überflüssig. Die folgende Darstellung geht davon aus, dass sich die rechts stehenden Kommentare immer auf äquivalentes Umformen beziehen.

Also ist die Lösungsmenge {(-1;2)}

An einem Auszug aus einem Schulbuch (Mathenetz, Ausgabe N, Klasse 9, Gymnasium,S.38, Westermann Braunschweig, 2001) soll die hier eingenommene Position verdeutlicht werden. Die Tabelle zeigt, wie im Buch vorgegangen wird. Die Kommentare sind in rot hinzugefügt worden.

Nach meiner Ansicht liegt hier kein sinnvolles Vorgehen für die allmähliche Angleichung von Schulmathematikverfahren an die Vorgehensweise der Mathematik vor. Die Möglichkeiten zur Vereinfachung und Klarheit in der Darstellung bei Verwenden einer angemessenen Fachsprache werden nicht genutzt. Es wird eher eine Art Rezept-Rechentechnik für Einzelfälle dargestellt.

Abschließend sollen noch zwei Darstellungen der Lösung des Gleichungssystems mit Derive 5 angegeben werden. Dabei ist die erste Lösung die 'elementare' - das Gleichungssystem wird direkt eingegeben (man beachte den Anschluss an die übliche Fachsprache). Das zweite Verfahren ist besonders für größere Gleichungssysteme sinnvoll. Der Lösungsvektor steht in der letzten Spalte. Bei dem Row-Reduce-Verfahren werden Äquivalenzumformungen des Ausgangssystems ausschließlich mit Additionen und Multiplikationen durchgeführt, bis sich eine Matrix ergibt, die außerhalb der Hauptdiagonalen nur Nullen und auf der Diagonalen nur Nullen oder Einsen enthält. Damit sind alle Lösungsfälle von linearen Gleichungssystemen behandelbar. Die Benutzung eines solchen mathematischen Assistenzprogramms entlastet den Unterricht von umfangreichen und trivialen Rechnungen - es wird Freiraum für mathematische Vertiefungen im Unterricht gewonnen.

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